AS4_2025

Automazione e Strumentazione Maggio 2025 Tecnica 79 PILLOLA DI AUTOMAZIONE da cui Si può allora cercare il valore migliore da dare a Δu per minimizzare la funzione di costo ove (q, r) sono coefficienti numerici a disposizione per dare peso a errore e variazioni della variabile di controllo. Ma allora (omettendo per maggiore semplicità e chiarezza gli indici temporali): Per cui: Questo valore di Δu quindi (da ricalcolare ad ogni istante dopo aver aggiornato y ˆ ) è la variazione ottima da dare alla variabile di controllo, in base al coefficiente s k (noto) attendendosi la conse- guente variazione di quella di processo. Il caso generale Nel caso più generale nel modello di predizione la variabile da controllare dipende, non solo dall’ul- timo valore della variabile di controllo ma dalla sequenza di più numerose sue precedenti varia- zioni; in tal caso si devono utilizzare più equazioni predittive ciascuna relativa ad un certo orizzonte temporale da t k+1 a t k+n : gli s k diventano quindi vet- tori di coefficienti di lunghezza 1,2,…,n. Inoltre, nel caso generale, diverse variabili di processo dipendono da più variabili di controllo (per que- sto si parla di ‘multivariabile’) rendendo necessa- rio ricorrere ad espressioni di tipo matriciale. Le equazioni in forma di predizione devono natural- mente basarsi su un modello noto ed affidabile del processo, che tipicamente viene identificato in fase di commissioning del sistema, facendo variare singolarmente le variabili di controllo ed osservando le corrispondenti reazioni di quelle da controllare. Se il processo non è più ben rap- presentato dal modello, i risultati dell’algoritmo possono essere scadenti e può essere opportuno procedere ad una nuova fase di identificazione del modello multivariabile (controllo adattativo). Il risultato finale è dunque un vettore di variazioni delle diverse variabili di controllo ( Δu 1 ,Δu 2 ,...,Δu m ) calcolato in una espressione nella quale non è dif- ficile riconoscere quella del caso monovariabile: Naturalmente i pesi in questo caso diventano vet- tori, rappresentati da R e Q mentre S è la matrice, le cui colonne sono i vettori s k . È opportuno sot- tolineare che gli elementi del vettore risultante ( Δu ) non sono scalari ma a loro volta vettori delle variazioni da applicare alle variabili di controllo per gli n passi successivi fino all’orizzonte di pre- dizione; quelli che vengono effettivamente for- niti in uscita sono solo però solo i primi elementi di tali vettori, prima che l’intero calcolo venga ripetuto. Spesso si fa l’analogia con una partita di scacchi (tra il controllore e il processo), nella quale si ipotizzano di volta in volta una serie di mosse successive ma poi si effettua solo la prima, ricalcolando l’intera serie solo dopo aver osser- vato la reazione dell’avversario; nel caso multiva- riabile è come se di potessero muovere più pezzi (variabili di controllo) contemporaneamente. Il ruolo dei parametri Scegliere un orizzonte di predizione più lungo corrisponde a cercare un andamento più ottimale della variabile di controllo, pagandolo con un intervallo di elaborazione più elevato, general- mente usato quando le uscite dell’algoritmo MPC diventano setpoint dei controllori PID a valle. Viceversa, il rapporto tra R e Q determina il trade-off tra aggressività e robustezza della legge di controllo. Non è difficile comunque incorpo- rare nell’algoritmo delle disequazioni di vincolo sul valore che le variabili in gioco possono assu- mere; questa possibilità consente all’algoritmo di generare automaticamente la soluzione ottima nel rispetto dei vincoli, che non di rado prevede che alcune delle variabili debbano assumere appunto il valore limite ammissibile. Considerazioni e conclusione Gli algoritmi di tipo MPC (figura 1) sono varia- mente usati nell’industria chimica e petrolchimica contribuendo ad elevare la qualità dei prodotti e l’efficienza (rendimenti) del processo di produ- zione. Comprenderne meglio la natura può aiutare a diffonderne l’applicazione anche in altri settori.