AS3_2025

Automazione e Strumentazione Aprile 2025 Tecnica 71 CONTROLLO f s è la forza di distacco necessaria per uscire dallo stato di stick , f c è la forza di attrito a velocità nulla in fase di entrata nello stato di stick , l’attrito fuori dallo stato di stick è di tipo viscoso, quindi f a = D·v ove D è il coefficiente di attrito viscoso. La forte discontinuità presente nello stato di stick rende ardua la convergenza numerica del modello, per ovviare a questo inconveniente una strategia che può essere utilizzata è quella di introdurre una soglia di velocità v trsh al di sotto della quale la forza di attrito viene portata linearmente a zero (tratto rosso in Figura 1 ), limitando la disconti- nuità al passaggio f s -f c in fase di entrata o uscita dalla fase di stick , normalmente di entità limitata. Il seguente modello Modelica implementa il modello di attrito con soglia v trsh : esso consente di realizzare i seguenti modelli di attrito: • nessun attrito (primo ramo if ), • modello discontinuo con soglia v trsh ed f s >f c (primo ramo elseif ), • modello C 0 con soglia v trsh ed f s =f c (secondo ramo elseif ), • modello C ∞ con solo attrito viscoso (ramo else ). Si noti che la struttura condizionale Modelica if-then-elseif-else seleziona, in fase di compila- zione del modello, l’equazione da utilizzare per la simulazione, prendendo quella del primo ramo in cui le condizioni di ingresso sono tutte verificate. Le quantità f s , f c e v trsh sono parametri non modifi- cabili durante la simulazione, quindi l’equazione (ramo) da utilizzare è univocamente determinata in fase di compilazione del modello e definisce il modello di attrito per tutto il transitorio simulato. Il fenomeno di hunting Il fenomeno di hunting si può presentare quando un sistema con attrito viene inserito in un loop di controllo che contiene un integratore dell’errore, come nel caso di regolatori industriali di tipo PI o PID. Si consideri ad esempio il sistema mecca- nico in Figura 2 , implementato utilizzando la Modelica Standard Library ed il modello di attrito discontinuo con soglia v trsh descritto in prece- denza, in cui la posizione della massa con attrito è regolata utilizzando un PID che imprime la forza (di spinta o frenata) ad essa applicata. Al fine di evitare il bump derivativo dovuto alla variazione del set-point di posizione, il controllo derivativo è realizzato direttamente sulla velocità misurata (cambiata di segno in quanto la retroazione è negativa) e non sull’errore di posizione; quindi, l’e- quazione del PID risulta essere la seguente: Dove (s 0 -s) è l’errore di posizione misurato, f è l’uscita del controllore sotto forma di richiesta di forza, K p e T i sono rispettivamente il guadagno proporzionale e la costante di tempo dell’integra- tore, K d è il guadagno dell’azione derivativa appli- cata alla velocità misurata v . In Figura 3 è riportato il transitorio della posizione controllata alla variazione unitaria del set-point, nei casi senza attrito, il primo, e con attrito, il secondo. Figura 2 - Sistema meccanico con frizione, regolato in posizione Figura 3 - Posizione controllata senza e con attrito (ciclo limite)